ΖΗΤΕΙΤΑΙ ΛΥΣΗ

Το πρόβλημα των δύο μπουκαλιών

Η νέα στήλη του Διαλείμματος, "Ζητείται Λύση", ασχολείται με ασκήσεις του μυαλού που καλλιεργούν την κριτική σκέψη. Με βάση τις γνώσεις και την εμπειρία του ο κάθε αναγνώστης δίνει την λύση ή την απάντηση στο πρόβλημα. Μαθαίνει με λειτουργικό τρόπο ότι τα προβλήματα υπάρχουν για να λύνονται και ότι πάντα υπάρχει λύση!

 Σκεφτείτε το πρόβλημα:

Έχουμε δύο γυάλινα βάζα με 300 χιλιοστόλιτρα (ml) κρασί στο καθένα, στο ένα με λευκό κρασί και στο άλλο με κόκκινο κρασί. Με μια κουτάλα παίρνουμε 30 χιλιοστόλιτρα (ml) κόκκινο κρασί και το βάζουμε στο βάζο με το λευκό κρασί. Με την ίδια κουτάλα παίρνουμε 30 χιλιοστόλιτρα (ml) από το βάζο με το λευκό κρασί (300ml) που έχει τώρα και 30ml κόκκινο κρασί, και το βάζουμε στο βάζο με το κόκκινο κρασί. Το ερώτημα είναι:

Θα υπάρχει τώρα περισσότερο, λιγότερο ή ίσο λευκό κρασί στο βάζο που αρχικά ήταν μόνο κόκκινο κρασί, από όσο κόκκινο κρασί στο βάζο που αρχικά ήταν μόνο λευκό κρασί;

 Ποια σκέψη/απάντηση σας ήρθε πρώτη στο μυαλό σαν σωστή; Μελετήστε τη λύση του ερωτήματος δικαιολογώντας την απάντησή σας. Συμφωνεί η τελευταία σας απάντηση με την πρώτη;
Οι απαντήσεις γράφονται στη θέση των σχολίων ή στέλνονται στο e-mail: todialeimma@gmail.com . Η λύση θα δημοσιευθεί μια εβδομάδα!

Δρ Αντώνης Ζαγοριανάκος, μαθηματικός

---------------------------------------------------------------------------------------------

Εισαγωγή στη λύση του προβλήματος – Δυο λόγια για την χρησιμότητα της δραστηριότητας αυτής

Συμβαίνει στη διάρκεια μιας μαθηματικής δραστηριότητας να μας έρχεται ξαφνικά μια ιδέα, χωρίς να μπορούμε  να εξηγήσουμε πως μας ήρθε, και για την οποία έχουμε ισχυρή πεποίθηση ότι είναι σωστή! Αυτό δεν μας συμβαίνει μόνο στα Μαθηματικά αλλά και σε άλλα μαθήματα, κυρίως όταν δυσκολευόμαστε να λύσουμε ένα πρόβλημα ή να απαντήσουμε σε κάποια ερώτηση˙ εντελώς ξαφνικά, μια ιδέα μας έρχεται για την απάντηση ή για τη λύση του προβλήματος η οποία πιστεύουμε ότι είναι σωστή χωρίς να μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί. Αυτή η ιδέα που μας έρχεται αυθόρμητα λέγεται διαίσθηση. Και μπορεί η διαίσθησή μας να αποδειχθεί λανθασμένη αλλά συχνά αποδεικνύεται ότι η διαίσθησή μας είτε είναι σωστή είτε περιέχει σωστά στοιχεία από αυτό που προσπαθούσαμε να λύσουμε. Σαν καθηγητής έχω συχνά ακούσει στην τάξη την ώρα του μαθήματος κάποιους μαθητές ή μαθήτριες να βγάζουν ένα επιφώνημα: «Α, ναι!» ή «Τώρα κατάλαβα!» ή «Αυτό είναι!!!». Το πρόβλημα των δύο μπουκαλιών είναι γνωστό στην διεθνή βιβλιογραφία ως ένα πρόβλημα όπου η διαίσθησή μας έρχεται αντιμέτωπη με την σωστή απάντηση. Ας δούμε το πώς και το γιατί: Η διαίσθηση για την οποία μιλήσαμε προηγουμένως συχνά μας οδηγεί να σκεφτούμε πως στην δεύτερη φάση έχουμε βάλει λιγότερο λευκό κρασί στο μπουκάλι με το κόκκινο κρασί, από το κόκκινο κρασί που βάλαμε στην πρώτη φάση στο μπουκάλι με το λευκό κρασί. Και η διαίσθηση αυτή είναι σωστή, καθώς όταν στην δεύτερη φάση πήραμε με την κουτάλα 30ml από το μπουκάλι με λευκό και κόκκινο κρασί δεν ήταν όλο το κρασί στην κουτάλα μας λευκό—όπως στην πρώτη φάση, που ήταν όλο κόκκινο—αλλά ένα μέρος ήταν λευκό, κι επομένως λιγότερη ποσότητα λευκού κρασιού πήγε στην δεύτερη φάση στο μπουκάλι με το κόκκινο κρασί από την ποσότητα κόκκινου κρασιού που μεταφέραμε στην πρώτη φάση στο μπουκάλι με το λευκό κρασί.

Προσοχή όμως! Έχει απαντηθεί από την διαίσθησή μας το ερώτημα αν περιέχεται λιγότερο το ίδιο ή περισσότερο λευκό κρασί στο μπουκάλι που αρχικά είχε κόκκινο κρασί, από το κόκκινο κρασί στο μπουκάλι που αρχικά είχε λευκό κρασί; Ή μήπως αυτή ακριβώς η διαίσθησή μας μάς έχει παραπλανήσει και δεν σκεπτόμαστε σωστά;

Ας σκεφτούμε προσεκτικά, χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, και έχοντας υπ’ όψη μας ότι στο τέλος της δεύτερης φάσης και τα δύο μπουκάλια έχουν την ίδια ποσότητα μείγματος λευκού και κόκκινου κρασιού (300ml):

Ας υποθέσουμε χάριν ευκολίας ότι η κουτάλα μας χωράει 10 σταγόνες κρασιού. Πήραμε 10 σταγόνες κόκκινου κρασιού στην πρώτη φάση από το μπουκάλι με το κόκκινο κρασί, και τις πήγαμε στο μπουκάλι με το λευκό κρασί. Έστω ότι στην δεύτερη φάση πήραμε με τις 10 σταγόνες της κουτάλας 7 σταγόνες λευκού και 3 σταγόνες κόκκινου κρασιού από το δεύτερο μπουκάλι, και τις μεταφέραμε στο μπουκάλι με το κόκκινο κρασί. Τώρα έχουμε 7 σταγόνες λευκό κρασί στο μπουκάλι που αρχικά είχε μόνο κόκκινο κρασί. Και στο μπουκάλι που αρχικά είχε μόνο λευκό κρασί πόσες σταγόνες κόκκινο κρασί έχουμε τώρα; Θα έχουμε τώρα 10 σταγόνες κόκκινο κρασί που είχαμε φέρει μείον τις 3 που γυρίσαμε πίσω, στην δεύτερη φάση, άρα πάλι 7 σταγόνες κόκκινο κρασί!

Παρατηρούμε ότι όσες σταγόνες κι αν θεωρήσουμε ότι χωράει η κουτάλα μας, και όποιον συνδυασμό κι αν δοκιμάσουμε από σταγόνες κόκκινου και λευκού κρασιού στην μετακίνηση της δεύτερης φάσης, θα καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα!

Επομένως η απάντηση στο πρόβλημα των δύο μπουκαλιών είναι ότι:

Σε κάθε περίπτωση θα είναι ίσες

η ποσότητα του λευκού κρασιού

στο μπουκάλι που αρχικά ήταν το κόκκινο κρασί,

και του κόκκινου κρασιού

στο μπουκάλι που αρχικά ήταν το λευκό κρασί 

Γι’ αυτό και στο πρόβλημα των δύο μπουκαλιών σας ζήτησα να γράψετε ποια ήταν η πρώτη σκέψη σας, και όχι μόνο ποια ήταν η τελική απάντηση που δώσατε. Ώστε να συγκρίνετε την αρχική σας σκέψη με την τελική, με άλλα λόγια να συγκρίνετε την διαίσθησή σας με την λογικά διατυπωμένη απάντηση που δώσατε στο τέλος.