Παγκόσμια ημέρα 3,14 (3ος μήνας και 14η μέρα)

Ο αριθμός π

Χαρακτηριστικά, ιδιότητες & ιστορικά στοιχεία

του Ισιδώρου Γλαβά*

Ο αριθμός π θεωρείται ένας από τους πιο ενδιαφέροντες και γοητευτικούς αριθμούς. Αυτό οφείλεται:

• στο πλήθος των εφαρμογών του σε πολλά επιστημονικά πεδία όπως Μαθηματικά, Φυσική, Μηχανολογία, Κοσμολογία κλπ,
• στις μακροχρόνιες και συνεχείς προσπάθειες του ανθρώπου για τον υπολογισμό του,
• στις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του,
• στη σύνδεσή του µε το περίφηµο πρόβληµα τετραγωνισµού του κύκλου.

Εμπειρικά, εάν τυλίξουμε ένα σπάγκο ή μια μεζούρα γύρω από ένα κυκλικό σχήμα, μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος του L, δηλαδή την περιφέρεια του ή αλλιώς την περίμετρό του. Επίσης μπορούμε να μετρήσουμε τη διάμετρό του δ. Εάν διαιρέσουμε το μήκος του κύκλου με τη διάμετρο του, βρίσκουμε έναν αριθμό λίγο μεγαλύτερο από το 3, αρκεί οι μετρήσεις να έχουν γίνει με ακρίβεια. Δηλαδή, με άλλα λόγια, η διάμετρος ενός κυκλικού δίσκου χωρά στην περίμετρό του 3 και κάτι φορές.

Ιστορικές ρίζες του αριθμού π

Αυτός ο λόγος, δεν είναι ακέραιος, ούτε ρητός αριθμός – δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος δύο ακεραίων, γι’ αυτό δυσκόλεψε τους γεωμέτρες της αρχαιότητας για πολλούς αιώνες. Οι Βαβυλώνιοι, το 2000 πΧ θεωρούσαν αυτόν τον λόγο ίσο με 3 είτε με 3 και 1/8. Επίσης, στην Παλαιά Διαθήκη, ο λόγος αναφέρεται ίσος με 3. Οι Αιγύπτιοι, το 1500 πΧ τον θεωρούσαν ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 256 δια τού 81, δηλαδή 3,16. Αργότερα, από τον 4ο αι. πΧ οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί διαφοροποιήθηκαν από τις εμπειρικές προσεγγιστικές μεθόδους των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων και προσπάθησαν να προσεγγίσουν το λόγο με θεωρητικό τρόπο. Μάλιστα, ο Αρχιµήδης προσεγγίζοντας τον κύκλο µε εγγεγραµµένα και περιγεγραµµένα κανονικά πολύγωνα και φθάνοντας στα πολύγωνα µε 96 πλευρές κατέληξε στο συµπέρασµα ότι ο παραπάνω λόγος είναι µεταξύ των ρητών αριθµών 3 + 10/71 και 3+ 1/7.

Σταθερά του Αρχιμήδη

Σύμφωνα με την ευφυέστατη ιδέα του, το μήκος του κύκλου θα είναι μεγαλύτερο από την περίμετρο του εγγεγραμμένου πολυγώνου και μικρότερο από την περίμετρο του περιγεγραμμένου πολυγώνου. Η περίμετρος των κανονικών πολυγώνων είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί και όσο αυξάνεται το πλήθος των πλευρών των πολυγώνων, τόσο προσεγγίζεται καλύτερα το μήκος του κύκλου. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μέθοδος του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του π χρησιμοποιούνταν για 2000 χρόνια περίπου, γι’ αυτό εξάλλου ο αριθμός π ονομάζεται και σταθερά του Αρχιμήδη.

Υπολογισμός του π

Μόλις το 18ο αι. μΧ αποδείχτηκε ότι αυτός ο σταθερός λόγος είναι ένας αριθμός που έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά (άρα ποτέ δεν πρόκειται να τα μάθουμε όλα) και το 1706, για πρώτη φορά, χρησιμοποιείται το Ελληνικό γράμμα π ως σύμβολο του σταθερού λόγου του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρό του, από τον Άγγλο μαθηματικό William Jones.

Στην αρχαία Ελλάδα το πρόβλημα του υπολογισμού αυτού του σταθερού λόγου (δηλαδή του π) συνδέεται άμεσα με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή της κατασκευής ενός τετραγώνου ισεμβαδικού με δοθέντα κύκλο, με τη χρήση κανόνα και διαβήτη, σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων (μάλιστα αποτελεί ένα από τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας). Το πρόβλημα αυτό απασχόλησε για 2500 χρόνια, όχι μόνο τους μαθηματικούς, αλλά και το ευρύ κοινό και μόλις στα τέλη του 19ου αι. αποδείχτηκε ότι ο αριθµός π είναι υπερβατικός, άρα (σύµφωνα µε θεώρηµα της Θεωρίας των Οµάδων) δεν µπορεί να κατασκευαστεί ευθύγραµµο τµήµα µήκους π, οπότε ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται (έτσι λύθηκε το πρόβλημα τετραγωνισμού του κύκλου).

Οι γεωμετρικές μέθοδοι - που βασίζονταν στα κανονικά πολύγωνα - για τον υπολογισμό όλο και με μεγαλύτερη ακρίβεια του σταθερού λόγου π, χρησιμοποιήθηκαν έως και τα τέλη του 16ου αι. μΧ. Στη συνέχεια, νέοι αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε άπειρες σειρές υπολογίζουν τον αριθμό π με μεγαλύτερη ακρίβεια (Ισαάκ Νιούτον, ο Λέοναρντ Όιλερ, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, και ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν κ.α.)

Με την έλευση του Απειροστικού Λογισμού, προέκυψαν νέα δεδομένα για το πρόβλημα του υπολογισμού του π. Οι νέοι τύποι υπολογισμού του π, οι οποίοι αποτελούνταν κυρίως από άπειρα γινόμενα και τόξα εφαπτομένων, έδωσαν τη δυνατότητα εύρεσης περισσότερων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π, χωρίς όμως να μπορούν να προχωρήσουν περισσότερο από μερικές εκατοντάδες.

Τον 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί δεν έχουν σταματήσει να προσεγγίζουν τον αριθμό π με όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια. Στις 14/3/2017 δημοσιεύτηκε μια «προσέγγιση» του π με 22,5 τρισεκατομμύρια ψηφία περίπου (για την εκτύπωση του αρχείου θα χρειάζονταν εκατομμύρια βιβλία).

3,14 (3ος μήνας και 14η μέρα)

Έχει όμως κάποια πρακτική αξία ο υπολογισμός τόσων ψηφίων; Είναι σχεδόν σίγουρο πως όχι, δεδομένου ότι καμία εφαρμογή δεν απαιτεί τέτοια ακρίβεια. Ακόμα και η NASA χρησιμοποιεί μόλις 15 δεκαδικά ψηφία για τους ακριβείς υπολογισμούς της σε αποστολές διαστημοπλοίων και δορυφόρων στο Διάστημα.

Τη 14η Μαρτίου αρκετές χώρες τη γιορτάζουν ως μέρα του αριθμού π ≈ 3,14 (3ος μήνας και 14η μέρα). Η πρόταση για την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσµιας ηµέρα του π έγινε το 1988 από τον Φυσικό Larry Shaw.

Ακόμα και σήμερα, μπορούμε να πούμε πως ο αριθμός π «δεν έχει βρεθεί» υπό την έννοια ότι έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται με γνωστή σειρά και ποτέ δεν θα τα μάθουμε όλα. Η σταθερά π, που συνδέει το μήκος και τη διάμετρο ενός κύκλου, δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια και πάντα θα αφήνει ένα ελάχιστο περιθώριο σφάλματος. Βέβαια, στο σύγχρονο κόσμο, που χρησιμοποιούμε προηγμένα όργανα ακριβείας, είναι δύσκολο να παραδεχτούμε ότι υπάρχει ένας αριθμός που δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς. Το π δοκιμάζει τα όρια της αντίληψής μας και μπορούμε να πούμε ότι συμβολίζει και την συνεχόμενη προσπάθεια του ανθρώπου τόσο να πετύχει την ακρίβεια όσο και να κατακτήσει το άπειρο.

Ο πανεπιστημιακός καθηγητής Μαθηματικών Νικόλαος Χατζηδάκις (1872-1942) έγραφε: «Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίσει διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, και όν, φευ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι».

Η   παραπάνω φράση αποτελεί μνημονικό κανόνα των είκοσι τριών πρώτων ψηφίων του π. Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της παραπάνω φράσης αντιστοιχεί σε καθένα από τα πρώτα είκοσι τρία διαδοχικά ψηφία του. "Αεί = 3", "ο = 1", "Θεός = 4", κλπ. ( π = 3 , 141 59 2 65 358 9 79 3 23 84 6 26 … )

-----------------------------

*Ο Ισίδωρος Γλαβάς είναι Μαθηματικός (Med) και υπηρετεί ως εκπαιδευτικός στο 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας.

Πηγές

(1). «Η ιστορία του π», Διπλωματική εργασία, Αρώνη Παρασκευή

(2). « π ≈ 3,14. Οι ιστορικές του ρίζες», Νικόλαος Καστάνης

(3). Εγκυκλοπαίδεια wolfram, http://mathworld.wolfram.com/Pi.html

(4). Εγκυκλοπαίδεια wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Pi